Hier mal wieder ein Rätsel:
gesucht wird die kleinste Zahl, die auf die 7 endet und sich verfünffacht, wenn man die 7 als letzte Ziffer entfernt und als erste Ziffer an den Anfag der Zahl stellt.
Hinweis
Es hilft sich zu überlegen, welche Zahl vor der 7 stehen muss.
Lösung
Die gesuchte Zahl endet auf 7, hat also die Form:
$$………z_{1}7$$
Wobei $$z_1$$ die noch unbekannte vorletzte Ziffer darstellt.
Nach der Umstellung sieht sie so aus:
$$7………z_{1}$$ und weiterhin soll ja gelten:
$$……..z_{1}7 \times 5 = 7………z_{1}$$
Da $$5\times7 = 35$$ ist, muß $$z_{1}$$ gleich 5 sein. Gleizeitg ensteht aber auch ein Übertrag von 3 auf die nächste Stelle. Man erhält so:
$$……..(3+z_{2})57 \times 5 = 7………(3+z_{2})5$$
Nun bestimmt man $$z_{2} = 5 \times 5 = 25$$. So ergibt sich als nächste Ziffer die 8 (durch den Übertrag von 3) und man erhält einen neuen Übertrag von 2:
$$……..(2+z_{3})857 \times 5 = 7………(2+z_{3})85$$
Durch wiederholte Anwendung:
$$5 \times 8 +2 \to ……..(4+z_{4})2857 \times 5 = 7………(4+z_{4})285$$
$$5 \times 2 + 4 \to ……..(1+z_{5})42857 \times 5 = 7………(1+z_{5})4285$$
$$5 \times 4 + 1 \to ……..(2+z_{6})142857 \times 5 = 7………(2+z_{6})14285$$
Und letzlich ergibt sich mit $$5 \times 1 + 2$$ als nächste Ziffer die 7 und wir haben die Lösung:
$$142857 \times 5 = 714285$$
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