Im Web gibt es viele Seiten auf denen Teilbarkeitsregeln für die Zahlen von 2 bis 11 angegeben werden. Fast nie wird aber erklärt, wieso diese Regeln so funktionieren.  Da mich dieses interessierte, versuchte ich der Sache mal auf den Grund zu gehen.

Einfach,…

Fangen wir mit den Zahlen 2, 4, 5, 8 und 10 an. Diesen Zahlen ist gemeinsam, dass sie nur aus den Faktoren 2 und 5 bestehen. Was ist daran besonders? Nun 2 und 5 sind auch die Faktoren von 10, der Basis unseres Zahlensystems. Nimmt man nun z.B. eine vierstellige Zahl
abcd

(man kann das Folgende aber entsprechend auf Zahlen mit mehr Stellen erweitern) so kann man diese auch als Summe schreiben:

(1000a+100b+10c)+d

Der Zahlentheorie lehrt uns, wenn bei einer Summe

n=m+l

zwei der Zahlen durch einen Teiler k teilbar sind, so ist es auch die dritte Zahl.  Betrachtet man nun die oben stehende Summe , so  ist der Teil in Klammern sowohl durch 2 als auch durch 5 teilbar. Dieses ergibt sich dadurch, das gilt

1000a+100b+10c = 10(100a+10b+c)

und der Ausdruck damit mindestens durch 2, 5 und 10 teilbar ist.  Damit kann man die Frage der Teilbarkeit durch 2,5 und 10 auf die letzte Ziffer d der Zahl abcd reduzieren. D.h. ist d durch 2,5 oder 10 teilbar so ist es auch die ganze Zahl. Somit gelangt man zu den bekannten Teilbarkeitsregeln für diese Zahlen:

Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie auf  0, 2, 4, 6 oder 8 endet, d.h. gerade ist.

Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.

Ein Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.

Dieses Prinzip, eine Zahl in eine Summe aufzuteilen in der einige Summanden durch den zu untersuchenden Teiler teilbar sind, wird bei allen hier untersuchten Teilbarkeitsregeln angewendet.

Wie siehts es mit den Teilern 4 und 8 aus? Nun 10 ist weder durch 4 noch durch 8 teilbar. Selbiges trifft aber auf 100 bzw. 1000 zu, welches die kleinsten 10er-Potenzen sind, auf die dieses zutrifft, da ihre Primfaktorzerlegung 2^2\times{}5^2 bzw. 2^3\times{}5^3 ist.

Analog zum obigen Verfahren kann man eine vierstellige Zahl so aufteilen:

(1000a+100b)+cd

bzw.

1000a+bcd

Somit ergibt sich:

Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzen 2 Stellen durch 4 teilbar sind.

Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzen 3 Stellen durch 8 teilbar sind.

Nimmt man den anderen Teiler von 10 die 5 so kann man auch noch folgenden Regel aufstellen:

Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn ihre letzen 2 Stellen durch 25 teilbar sind.

Eine Zahl ist durch 125 teilbar, wenn ihre letzen 3 Stellen durch 125 teilbar sind.

… schwieriger …

Als nächstes zu den Teilbarkeitsregeln zu 3 und 9. Hier besteht der der Trick darin,  die zu untersuchende Zahl nach folgendem Schema aufzuteilen:

\begin{array}{ccl}abcd & = & 1000a+100b+10c+d\\{ } & = & 999a+a+99b+b+9c+c+d\\{ } & = & 999a+99b+9c+(a+b+c+d)\\\end{array}

Man erkennt, dass die ersten drei Summanden sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar sind.  Die Teilbarkeit der gesamten Zahl hängt also nur von dem letzten Klammerausdruck ab, der die Summe aller Ziffern d.h. ihre Quersumme representiert und man erhält die Regeln:

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.

Eine Zahl ist  durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.

Für die Teilbarkeit durch 11 ergibt sich etwas abgewandelt:

\begin{array}{ccl}abcd & = & 1000a+100b+10c+d\\{ } & = & 1001a-a+99b+b+11c-c+d\\{ } & = & 1001a+99b+11c+(-a+b-c+d)  \quad(4)\\\end{array}

und man kommt so zu der entsprechenden Teilbarkeitsregel:

Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.

Für die Teilbarkeit ist es hierbei nicht entscheidend, ob mit einer Addition oder mit einer Subtraktion begonnen wird, da sich die resultierende Quersumme nur durch das Vorzeichen unterscheidet.

Will man die letzten beiden Teilbarkeitsregeln auf mehrstellige Zahlen verallgemeinern, taucht aber ein Problem auf: wer sagt, dass jede Zahl der Form 999…..999 auch durch 3 bzw. 9 teilbar ist und auch durch 11 falls ihre Stellenanzahl gerade oder jede Zahl 100….001 durch 11 bei ebenfalls gerader Stellenanzahl? Wie kommt man nun von

\underbrace{999...999}_{n} auf \underbrace{999...999}_{n+1} ?

Nun auch ohne strengen Beweis durch vollständige Induktion ist dieses einfach zu bewerkstelligen:

\underbrace{999...999}_{n+1} = 10\times{}\underbrace{999...999}_{n}+9

Betrachtet man die Summe auf der rechten Seite der Gleichung, so sieht man, dass sowohl der erste Summand durch 3 und 9 teilbar ist, da er ein Produkt aus 10 und einer schon teilbaren Zahl ist, als auch der zweite Summand, die 9.  Damit gilt wieder, auch die Summe ist durch 3 und 9 teilbar.

Analog kann man das auch für die 11er-Regel tun, hier ist jedoch der Schluss von

\underbrace{999...999}_n auf \underbrace{999...999}_{n+2}  nötig.

Es ergibt sich:

\underbrace{999...999}_{n+2} = 100\times{}\underbrace{999...999}_{n}+99

Und auch hier gilt, dass beide Summanden durch 11 teilbar sind und damit auch die Summe. Zusätzlich muss man jedoch für den zweiten Faktor auch noch von

\underbrace{100...001}_{n} auf \underbrace{100...001}_{n+2}

kommen. Dieses erreicht man so:

\underbrace{100...001}_{n+2} = 100\times{}\underbrace{100...001}_{n}-99

Da hier auch die -99 ebenso wie der erste Summand durch 11 teilbar ist, ist auch hier die Summe insgesamt durch 11 teilbar.

Bleiben von den Zahlen unter 10 noch die Teilbarkeitsregeln für 6 und 7.

Für die 6 gilt, wie für alle aus mehreren Primfaktoren zusammengesetzte Teiler, dass eine Zahl genau dann geteilt wird, wenn sie von allen Faktoren der kanoischen Form der Primfaktorenzerlegung des Teilers geteilt wird. Oder einfach an den Beispielen zu 6 und 12:

6 = 2^1\times{}3^1

12 = 2^2\times{}3^1

Damit gilt:

Eine Zahl durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.

und

Eine Zahl durch 12 teilbar, wenn sie durch 4 und 3 teilbar ist.

… und komplex!

Bleibt noch die 7. Man findet die unterschiedlichsten Regeln zur Teilbarkeit durch 7:

  1. Die 3er-Quersummenregel:

    Man bildet rechts beginnend Blöcke aus jeweils 3 Ziffern, diese betrachtet man als 3-stellige Zahlen. Von diesen bildet man nun eine alternierende Summe. Ist diese durch 7 teilbar,  so ist auch die ursprüngliche Zahl durch 7 teilbar.

    Beispiel:
    \begin{array}{lr}{15295\rightarrow}&{}\\+ & 295\\- & 15\\\hline{}& 280\\\end{array}

  2. Verdoppeln und subtrahieren:

    Man entfernt die letzte Ziffer der Zahl, verdoppelt diese und subtrahiert das Ergebnis von der Restzahl. Dieses wiederholt man nun solange, bis die resultierende Zahl klein genug ist. Ist diese durch 7 teilbar, ist es auch die ursprüngliche.

    Beispiel:

    \begin{array}{lcl}{15295\rightarrow}&{}&{}\\1529-2\times{5} & = & 1519\\151-2\times{9} & = & 133\\13-2\times{3} & = & 7\\\end{array}

  3. Verdreifachen und addieren:

    Man entfernt die erste Ziffer der Zahl, verdreifacht diese und addiert die nächste Ziffer hinzu. Die so erhaltene Zahl wird wieder verdreifacht und die nächste Ziffer addiert. Dieses wird fortgeführt, bis keine Ziffer mehr übrig ist. Ist die erhaltene Zahl durch 7 teilbar, so ist es auch die ursprüngliche.

    Beispiel:
    \begin{array}{lcl}{15295\rightarrow}&{}&{}\\3\times{1}+5 & = & 8\\3\times{8}+2 & = & 26\\3\times{26}+9 & = & 87\\3\times{87}+5 & = & 266\\\end{array}

Nach welchem Schema funktionieren die oben vorgestellten Regeln?. Nun es wird dasselbe Prinzip wie bei den anderen Regeln angewendet. Die zu untersuchende Zahl wird in eine Summe aufgespalten, in der man von einem Summanden weiß, dass er durch 7 teilbar ist.

  1. Erläuterung der Regel mit Hilfe einer 9stelligen Zahl:
    \begin{array}{ccl}a_{1}a_{2}a_{3}b_{1}b_{2}b_{3}c_{1}c_{2}c_{3} & = & 1000000(a_{1}a_{2}a_{3})+1000(b_{1}b_{2}b_{3})+c_{1}c_{2}c_{3}\\{ } & = & 999999(a_{1}a_{2}a_{3})+a_{1}a_{2}a_{3}+1001(b_{1}b_{2}b_{3})-b_{1}b_{2}b_{3}+c_{1}c_{2}c_{3}\\{ } & = & (999999(a_{1}a_{2}a_{3})+1001(b_{1}b_{2}b_{3}))+(a_{1}a_{2}a_{3}-b_{1}b_{2}b_{3}+c_{1}c_{2}c_{3})\\\end{array}

    Nun sind sowohl 999999 als auch 1001 durch 7 teilbar und man reduziert die Frage auf Teilbarkeit auf den zweiten Summand, der die erwähnte alternierende 3er-Quersumme darstellt. Für größere Zahlen lässt sich das Verfahren wie bei der 11er-Regel verallgemeinern.

  2. Erläuterung der Subtraktionsregel:
    \begin{array}{lcl}abcd & = & 1000a+100b+10c+d\\{}    & = & 10(100a+10b+c)+d\\{}    & = & 10(100a+10b+c-2d)+21d\\\end{array}
    Auch sieht man wieder eine Summe in der der zweite Summand durch 7 teilbar ist und so die Teilbarkeit vom ersten Summand abhängt. Dieser ist ein Produkt in dem der erste Faktor die 10 ist und so die Teilbarkeit vom anderen Faktor abhängt:

    100a+10b+c-2d

    der gerade die genannte Regel darstellt. Diese kann man nun so oft anwenden bis das Ergebnis klein genug ist.

  3. Erläuterung der Additionsregel:
    \begin{array}{lcl}abcd & = & 1000a+100b+10c+d\\{}    & = &  100(10a+b)+10c+d\\{}    & = &  700a+(100(3a+b)+10c+d)\\\end{array}
    Der letzte Ausdruck besteht wieder aus einer Summe und der zweite Summand stellt die Zahl nach einmaliger Anwendung der Teilbarkeitsregel dar. Diese kann man nun erneut anwenden und erhält dann:
    \begin{array}{lcl}100(3a+b)+10c+d & = & 10(10(3a+b)+c)+d\\{}    & = &  70(3a+b)+10(3(3a+b))+c)+d\\\end{array}
    Und man hat so die Zahl erneut verkleinert.

Praktische Anwendung

Während die Prüfung auf Teilbarkeit durch 2,4,5 und 10 einfach im Kopf durchzuführen ist, ist dieses bei den Test für 3,9,11 und gerade 7 schon schwieriger. Hier gibt es nun einige Tipps, die dieses etwas vereinfachen sollen.

Auf vielen Seiten werden die Quersummenregeln für die Teilbarkeit durch 3 und 9 erwähnt. Was nicht gesagt wird, ist wie man die praktische Durchführung vereinfachen kann. Wie schon oben erwähnt, kann man den Teilbarkeitstest bei einer Summe auf die Summanden beschränken, die nicht offensichtlich teilbar sind. Dieses gilt natürlich auch bei der Bildung der Quersumme. Als Folge kann beim Test auf Teilbarkeit durch 3 beim Bilden der Quersumme alle Ziffern 3,6 und 9 ignorieren. Beim Test durch 9 immerhin noch die 9er. Weiterhin kann man beim Erreichen einer Teilsumme die durch 3 bzw. 9 teilbar ist, diese ignorieren und wieder von vorne beginnen. So kann man z.B. auch Paare von 4 und 5 oder 2 und 7 ignorieren auch wenn diese nicht nebeneinander stehen.

Bei dem Teilbarkeitstest durch 11 kann man mit selber Argumentation gleiche Ziffern die nebeneinander stehen ignorieren, da diese sich bei der Bildung der alternierenden Quersumme zu 0 aufaddieren. Weiterhin kann man auch hier Teilsummen die bereits durch 11 teilbar sind ignorieren.

Betrachtet man die drei Reglen für die Teilbarkeit durch 7, so sind diese ziemlich sperrig und nicht unbedingt einfach im Kopf zu rechnen. Warum hier nicht einfach eine Division im Kopf durchführen? Es klingt schwieriger als es ist, da man ja nur auf Teilbarkeit testen möchte und das Ergebnis nicht interessiert. So reduziert sich das Verfahren auf einfaches fortgesetztes Subtrahieren. Ein Beispiel

\begin{array}{l}{\hphantom{-}85295\rightarrow}\\\hphantom{-}8|5295 \\-7\\\hphantom{-}1|5295 \\\hphantom{-}15|295 \\-14\\\hline\hphantom{-1}1|295\\\hphantom{-1}12|95\\-\hphantom{11}7\\\hline\hphantom{-11}5|95\\\hphantom{-11}59|5\\-\hphantom{11}56\\\hline\hphantom{-111}3|5\\\hphantom{-111}35\\-\hphantom{111}35\\\hline\hphantom{-1111}0\end{array}

Wie man sieht ist das Verfahren recht einfach: ist die erste Ziffer kleiner als 7 so nimmt man die zweite hinzu und bildet die Differenz zum nächstkleineren Vielfachen von 7. Das Ergebnis ist nun die neue führende Ziffer. Ist die Ziffer 7 oder größer, so subtrahiert man 7 und erhält damit eine neue erste Ziffer. Meiner Meinung nach ist dieses Verfahren bei weitem einfacher als die Anwendung aller oben genannten Regeln.

Spezialfälle

Mit Hilfe der dargestellten Teilbarkeitsregeln lässt sich für bestimmte Spezialfälle sofort sagen, dass diese bestimmte Teilbarkeiten aufweisen.

Jede Zahl die nur aus den Ziffern 3,6,9 oder 0 besteht ist durch 3 teilbar.

Beispiele: 393, 66339 oder 906906

Jede Zahl in der jede auftretende Ziffer mit einer Häufigkeit auftritt die ein Vielfaches von 3 ist, ist durch 3 teilbar.

Beispiele: 111, 444444, 552252, 771744114

Jede Zahl die nur aus den Ziffern 9 oder 0 besteht ist durch 9 teilbar.

Beispiele: 909, 90999

Jede Palindromzahl mit gerader Stellenzahl ist durch 11 teilbar.

Beispiele: 1221, 451154

Jede Zahl die sich durch hintereinander stellen einer Zahl mit ungeraden Stellenzahl ergibt, ist durch 11 teilbar.

Beispiele: 147147, 1556715567

Jede Zahl die sich durch hintereinander stellen einer 3stelligen Zahl ergibt, ist durch 7 ( durch 11 und damit auch durch 77) teilbar.

Beispiele: 259259, 147147, 381381

Wer noch mehr wissen möchte, sei auf ein Buch über Zahlentheorie verwiesen. Einen guten Einstieg bietet z.B.
Basiswissen Zahlentheorie: Eine Einführung in Zahlen und Zahlbereiche

oder auch

Zahlentheorie.

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