Seilbahnen

Nach einiger Zeit hier mal wieder ein Rätsel, auch aus Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities S.124:

Seilbahn

In einem Bergtal in dem rechts und links steile Klippen aufragen gibt es zwei Seilbahnen, eine geht vom linken Talpunkt A zur rechten Klippe D die sich auf 400 Metern Höhe befindet und die andere geht vom rechten Talpunkt C zur linken Klippe B die sich auf 600 Metern Höhe befindet. Auf welcher Höhe h begegnen sich die Seilbahnen?

Hinweis

Seilbahn

In obiger Zeichnung sind Winkel eingezeichnet. Welche sind gleich und was kann man daraus schließen?

Lösung

Da folgende Winkel gleich sind: $\alpha = \beta$ , $\gamma = \delta$ und $\epsilon = \zeta$ , sind die beiden Dreiecke
$AJB$ und $DJC$ ähnlich. Dreht man das Dreieck $DJC$ um $J$ , so erhält man $D'JC'$ . Durch ein Hilfslinie parallel zum Boden durch $J$ erhält man noch die Punkte $G$ , $H$ und $H'$ . Im linken Teil kann man nun den Strahlensatz anwenden und erhält:
$\frac{BG}{C'H'} = \frac{AG}{D'H'}$ mit $\overline{BG}=600-h$ , $\overline{AG}=h$ , $\overline{C'H'}=h$ und $\overline{D'H'}=400-h$ ergibt sich $\frac{600-h}{h}=\frac{h}{400-h}$ . Umgeformt und aufgelöst ergibt sich $h=240$ .

Die beiden Seilbahnen treffen sich also in 240 Metern Höhe.