5-fach

Hier mal wieder ein Rätsel:

gesucht wird die kleinste Zahl, die auf die 7 endet und sich verfünffacht, wenn man die 7 als letzte Ziffer entfernt und als erste Ziffer an den Anfag der Zahl stellt.

Hinweis

Es hilft sich zu überlegen, welche Zahl vor der 7 stehen muss.

Lösung

Die gesuchte Zahl endet auf 7, hat also die Form:

$.........z_{1}7$

Wobei $z_1$ die noch unbekannte vorletzte Ziffer darstellt.

Nach der Umstellung sieht sie so aus:

$7.........z_{1}$ und weiterhin soll ja gelten:

$........z_{1}7 \times 5 = 7.........z_{1}$

Da $5\times7 = 35$ ist, muß $z_{1}$ gleich 5 sein. Gleizeitg ensteht aber auch ein Übertrag von 3 auf die nächste Stelle. Man erhält so:

$........(3+z_{2})57 \times 5 = 7.........(3+z_{2})5$

Nun bestimmt man $z_{2} = 5 \times 5 = 25$ . So ergibt sich als nächste Ziffer die 8 (durch den Übertrag von 3) und man erhält einen neuen Übertrag von 2:

$........(2+z_{3})857 \times 5 = 7.........(2+z_{3})85$

Durch wiederholte Anwendung:

$5 \times 8 +2 \to ........(4+z_{4})2857 \times 5 = 7.........(4+z_{4})285$

$5 \times 2 + 4 \to ........(1+z_{5})42857 \times 5 = 7.........(1+z_{5})4285$

$5 \times 4 + 1 \to ........(2+z_{6})142857 \times 5 = 7.........(2+z_{6})14285$

Und letzlich ergibt sich mit $5 \times 1 + 2$ als nächste Ziffer die 7 und wir haben die Lösung:

$142857 \times 5 = 714285$