{"id":679,"date":"2009-08-18T21:38:13","date_gmt":"2009-08-18T20:38:13","guid":{"rendered":"http:\/\/www.fiveoclock.de\/?p=679"},"modified":"2009-08-18T21:38:24","modified_gmt":"2009-08-18T20:38:24","slug":"kreis-dreieck-sechseck","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/?p=679","title":{"rendered":"Kreis, Dreieck &#038; Sechseck"},"content":{"rendered":"<p>Da ich Geometrier\u00e4tsel liebe hier noch eins aus dem Buch <a  href=\"http:\/\/www.amazon.de\/gp\/product\/3499619695?ie=UTF8&#038;tag=fiocl-21&#038;linkCode=as2&#038;camp=1638&#038;creative=19454&#038;creativeASIN=3499619695\">Die magischen Vierecke des Abul Wafa: R\u00e4tsel und Knobeleien aus 1001 Nacht S.18<\/a><img decoding=\"async\" loading=\"lazy\" src=\"http:\/\/www.assoc-amazon.de\/e\/ir?t=fiocl-21&#038;l=as2&#038;o=3&#038;a=3499619695\" width=\"1\" height=\"1\" border=\"0\" alt=\"\" style=\"border:none !important; margin:0px !important;\" \/> von Heinrich Hemme.<\/p>\n<p>In folgender Figur ist die Gr\u00f6\u00dfe der blauen Fl\u00e4che im Verh\u00e4ltnis zur Kreisfl\u00e4che gesucht. Die Fl\u00e4che wird gebildet durch eine Seite eines einbeschriebenen Dreiecks zwei Kreisb\u00f6gen und einer Seite eines in demselben Kreis einbeschriebenen Sechsecks.<\/p>\n<p><img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.fiveoclock.de\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2009\/08\/Kreis6eck3eck-1.png\" alt=\"Figur 1\" \/><\/p>\n<p><a class=\"spoiler_link_show\" href=\"javascript:void(0)\" onclick=\"wpSpoilerToggle(document.getElementById('id248064217'), this, 'Hinweis', 'Verstecken')\">Hinweis<\/a>\n<div class=\"spoiler_div\" id=\"id248064217\" style=\"display:none\"><br \/>\n<img decoding=\"async\" src=\"http:\/\/www.fiveoclock.de\/wordpress\/wp-content\/uploads\/2009\/08\/Kreis6eck3eck-2.png\" alt=\"Figur 2\" \/><\/p>\n<p>Hilfreich ist es sich zu \u00fcberlegen wie das Fl\u00e4chenverh\u00e4ltnis von Sechseck und Dreieck und der \u00fcbrigen Fl\u00e4chen zueinander ist.<br \/>\n<\/div>\n<\/p>\n<p><a class=\"spoiler_link_show\" href=\"javascript:void(0)\" onclick=\"wpSpoilerToggle(document.getElementById('id1356060496'), this, 'L\u00f6sung', 'Ausblenden')\">L\u00f6sung<\/a>\n<div class=\"spoiler_div\" id=\"id1356060496\" style=\"display:none\"><br \/>\nErstaunlicherweise kommt die L\u00f6sung kommt ganz ohne den Einsatz von Fl\u00e4chenformeln f\u00fcr Kreis oder Kreisegmenten und ohne den Einsatz von <span class=\"tex\"><img decoding=\"async\" src=\"\/tex?x=%5Cpi&#038;fg=00000&#038;s=0\" title=\"\\pi\" style=\"vertical-align:-20%;\" class=\"tex\" alt=\"\\pi\" \/><\/span> aus!<\/p>\n<p>W\u00e4hrend das Sechseck vom Kreis sechs gleiche Segmente \u00fcbrig  l\u00e4sst , schneidet das Dreieck entsprechend drei Teile ab. Es gilt:<\/p>\n<p><span class=\"tex\"><img decoding=\"async\" src=\"\/tex?x=A_%7BKreis%7D%3DA_%7BSechseck%7D%2B6%5Ctimes%20A_%7BSegment%206%7D%20%281%29&#038;fg=00000&#038;s=0\" title=\"A_{Kreis}=A_{Sechseck}+6\\times A_{Segment 6} (1)\" style=\"vertical-align:-20%;\" class=\"tex\" alt=\"A_{Kreis}=A_{Sechseck}+6\\times A_{Segment 6} (1)\" \/><\/span><\/p>\n<p><span class=\"tex\"><img decoding=\"async\" src=\"\/tex?x=A_%7BKreis%7D%3DA_%7BDreieck%7D%2B3%5Ctimes%20A_%7BSegment%203%7D%20%282%29&#038;fg=00000&#038;s=0\" title=\"A_{Kreis}=A_{Dreieck}+3\\times A_{Segment 3} (2)\" style=\"vertical-align:-20%;\" class=\"tex\" alt=\"A_{Kreis}=A_{Dreieck}+3\\times A_{Segment 3} (2)\" \/><\/span><\/p>\n<p>Die gesuchte Fl\u00e4che ist nun gerade:<\/p>\n<p><span class=\"tex\"><img decoding=\"async\" src=\"\/tex?x=A_%7BBlau%7D%3DA_%7BSegment%203%7D-A_%7BSegment%206%7D&#038;fg=00000&#038;s=0\" title=\"A_{Blau}=A_{Segment 3}-A_{Segment 6}\" style=\"vertical-align:-20%;\" class=\"tex\" alt=\"A_{Blau}=A_{Segment 3}-A_{Segment 6}\" \/><\/span><\/p>\n<p>durch Umformen und Einsetzen in die Gleichungen (1) und (2) ergibt sich:<\/p>\n<p><span class=\"tex\"><img decoding=\"async\" src=\"\/tex?x=A_%7BBlau%7D%3D%5Cfrac%7BA_%7BKreis%7D-A_%7BDreieck%7D%7D%7B3%7D-%5Cfrac%7BA_%7BKreis%7D-A_%7BSechseck%7D%7D%7B6%7D%20%283%29&#038;fg=00000&#038;s=0\" title=\"A_{Blau}=\\frac{A_{Kreis}-A_{Dreieck}}{3}-\\frac{A_{Kreis}-A_{Sechseck}}{6} (3)\" style=\"vertical-align:-20%;\" class=\"tex\" alt=\"A_{Blau}=\\frac{A_{Kreis}-A_{Dreieck}}{3}-\\frac{A_{Kreis}-A_{Sechseck}}{6} (3)\" \/><\/span><\/p>\n<p>Wie man in der Zeichnung im Hinweis sehen kann, nimmt das  Sechseck die doppelte Fl\u00e4che des Dreiecks ein. Es gilt:<\/p>\n<p><span class=\"tex\"><img decoding=\"async\" src=\"\/tex?x=A_%7BSeckseck%7D%3D2%5Ctimes%20A_%7BDreieck%7D&#038;fg=00000&#038;s=0\" title=\"A_{Seckseck}=2\\times A_{Dreieck}\" style=\"vertical-align:-20%;\" class=\"tex\" alt=\"A_{Seckseck}=2\\times A_{Dreieck}\" \/><\/span><\/p>\n<p>Durch Einsetzen und Umformen in (3) erh\u00e4lt man:<\/p>\n<p><span class=\"tex\"><img decoding=\"async\" src=\"\/tex?x=A_%7BBlau%7D%3D%5Cfrac%7B2%5Ctimes%20A_%7BKreis%7D-2%5Ctimes%20A_%7BDreieck%7D%7D%7B6%7D-%5Cfrac%7BA_%7BKreis%7D-2%5Ctimes%20A_%7BDreieck%7D%7D%7B6%7D&#038;fg=00000&#038;s=0\" title=\"A_{Blau}=\\frac{2\\times A_{Kreis}-2\\times A_{Dreieck}}{6}-\\frac{A_{Kreis}-2\\times A_{Dreieck}}{6}\" style=\"vertical-align:-20%;\" class=\"tex\" alt=\"A_{Blau}=\\frac{2\\times A_{Kreis}-2\\times A_{Dreieck}}{6}-\\frac{A_{Kreis}-2\\times A_{Dreieck}}{6}\" \/><\/span><\/p>\n<p>und vereinfacht:<\/p>\n<p><span class=\"tex\"><img decoding=\"async\" src=\"\/tex?x=A_%7BBlau%7D%3D%5Cfrac%7BA_%7BKreis%7D%7D%7B6%7D&#038;fg=00000&#038;s=0\" title=\"A_{Blau}=\\frac{A_{Kreis}}{6}\" style=\"vertical-align:-20%;\" class=\"tex\" alt=\"A_{Blau}=\\frac{A_{Kreis}}{6}\" \/><\/span><\/p>\n<p>Die gesuchte Fl\u00e4che betr\u00e4gt also ein Sechstel der Kreisfl\u00e4che.<\/p>\n<p><\/div>\n<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Da ich Geometrier\u00e4tsel liebe hier noch eins aus dem Buch Die magischen Vierecke des Abul Wafa: R\u00e4tsel und Knobeleien aus 1001 Nacht S.18 von Heinrich Hemme. In folgender Figur ist die Gr\u00f6\u00dfe der blauen Fl\u00e4che im Verh\u00e4ltnis zur Kreisfl\u00e4che gesucht.<span class=\"ellipsis\">&hellip;<\/span><\/p>\n<div class=\"read-more\"><a  href=\"https:\/\/www.fiveoclock.de\/?p=679\">Read more <span class=\"screen-reader-text\">Kreis, Dreieck &#038; Sechseck<\/span><span class=\"meta-nav\"> &#8250;<\/span><\/a><\/div>\n<p><!-- end of .read-more --><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":[],"categories":[3],"tags":[],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/679"}],"collection":[{"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=679"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/679\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":1081,"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/679\/revisions\/1081"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=679"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=679"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/www.fiveoclock.de\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=679"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}