Im Web gibt es viele Seiten auf denen Teilbarkeitsregeln f\u00fcr die Zahlen von 2 bis 11 angegeben werden. Fast nie wird aber erkl\u00e4rt, wieso diese Regeln so funktionieren. Da mich dieses interessierte, versuchte ich der Sache mal auf den Grund zu gehen.<\/p>\n
Fangen wir mit den Zahlen 2, 4, 5, 8 und 10 an. Diesen Zahlen ist gemeinsam, dass sie nur aus den Faktoren 2 und 5 bestehen. Was ist daran besonders? Nun 2 und 5 sind auch die Faktoren von 10, der Basis unseres Zahlensystems. Nimmt man nun z.B. eine vierstellige Zahl\n$$abcd$$<\/p>\n
(man kann das Folgende aber entsprechend auf Zahlen mit mehr Stellen erweitern) so kann man diese auch als Summe schreiben:<\/p>\n
$$(1000a+100b+10c)+d$$<\/p>\n
Der Zahlentheorie lehrt uns, wenn bei einer Summe<\/p>\n
$$n=m+l$$<\/p>\n
zwei der Zahlen durch einen Teiler k<\/em> teilbar sind, so ist es auch die dritte Zahl. Betrachtet man nun die oben stehende Summe , so ist der Teil in Klammern sowohl durch 2 als auch durch 5 teilbar. Dieses ergibt sich dadurch, das gilt<\/p>\n $$1000a+100b+10c = 10(100a+10b+c)$$<\/p>\n und der Ausdruck damit mindestens durch 2, 5 und 10 teilbar ist. Damit kann man die Frage der Teilbarkeit durch 2,5 und 10 auf die letzte Ziffer d<\/em> der Zahl abcd<\/em> reduzieren. D.h. ist d<\/em> durch 2,5 oder 10 teilbar so ist es auch die ganze Zahl. Somit gelangt man zu den bekannten Teilbarkeitsregeln f\u00fcr diese Zahlen:<\/p>\n Dieses Prinzip, eine Zahl in eine Summe aufzuteilen in der einige Summanden durch den zu untersuchenden Teiler teilbar sind, wird bei allen hier untersuchten Teilbarkeitsregeln angewendet.<\/p>\n Wie siehts es mit den Teilern 4 und 8 aus? Nun 10 ist weder durch 4 noch durch 8 teilbar. Selbiges trifft aber auf 100 bzw. 1000 zu, welches die kleinsten 10er-Potenzen sind, auf die dieses zutrifft, da ihre Primfaktorzerlegung $$2^2\\times{}5^2$$ bzw. $$2^3\\times{}5^3$$ ist.<\/p>\n Analog zum obigen Verfahren kann man eine vierstellige Zahl so aufteilen:<\/p>\n $$(1000a+100b)+cd$$<\/p>\n bzw.<\/p>\n $$1000a+bcd$$<\/p>\n Somit ergibt sich:<\/p>\n Nimmt man den anderen Teiler von 10 die 5 so kann man auch noch folgenden Regel aufstellen:<\/p>\n Als n\u00e4chstes zu den Teilbarkeitsregeln zu 3 und 9. Hier besteht der der Trick darin, die zu untersuchende Zahl nach folgendem Schema aufzuteilen:<\/p>\n $$\\begin{array}{ccl}<\/p>\n abcd & = & 1000a+100b+10c+d\\<\/p>\n { } & = & 999a+a+99b+b+9c+c+d\\<\/p>\n { } & = & 999a+99b+9c+(a+b+c+d)\\<\/p>\n \\end{array}$$<\/p>\n Man erkennt, dass die ersten drei Summanden sowohl durch 3 als auch durch 9 teilbar sind. Die Teilbarkeit der gesamten Zahl h\u00e4ngt also nur von dem letzten Klammerausdruck ab, der die Summe aller Ziffern d.h. ihre Quersumme representiert und man erh\u00e4lt die Regeln:<\/p>\n F\u00fcr die Teilbarkeit durch 11 ergibt sich etwas abgewandelt:<\/p>\n $$\\begin{array}{ccl}abcd & = & 1000a+100b+10c+d\\<\/p>\n { } & = & 1001a-a+99b+b+11c-c+d\\<\/p>\n { } & = & 1001a+99b+11c+(-a+b-c+d) \\quad(4)\\<\/p>\n \\end{array}$$<\/p>\n und man kommt so zu der entsprechenden Teilbarkeitsregel:<\/p>\n F\u00fcr die Teilbarkeit ist es hierbei nicht entscheidend, ob mit einer Addition oder mit einer Subtraktion begonnen wird, da sich die resultierende Quersumme nur durch das Vorzeichen unterscheidet.<\/p>\n Will man die letzten beiden Teilbarkeitsregeln auf mehrstellige Zahlen verallgemeinern, taucht aber ein Problem auf: wer sagt, dass jede Zahl der Form 999.....999 auch durch 3 bzw. 9 teilbar ist und auch durch 11 falls ihre Stellenanzahl gerade oder jede Zahl 100....001 durch 11 bei ebenfalls gerader Stellenanzahl? Wie kommt man nun von<\/p>\n $$\\underbrace{999...999}{n}$$ auf $$\\underbrace{999...999}<\/em>{n+1}$$ ?<\/p>\n Nun auch ohne strengen Beweis durch vollst\u00e4ndige Induktion ist dieses einfach zu bewerkstelligen:<\/p>\n $$\\underbrace{999...999}{n+1} = 10\\times{}\\underbrace{999...999}<\/em>{n}+9$$<\/p>\n Betrachtet man die Summe auf der rechten Seite der Gleichung, so sieht man, dass sowohl der erste Summand durch 3 und 9 teilbar ist, da er ein Produkt aus 10 und einer schon teilbaren Zahl ist, als auch der zweite Summand, die 9. Damit gilt wieder, auch die Summe ist durch 3 und 9 teilbar.<\/p>\n Analog kann man das auch f\u00fcr die 11er-Regel tun, hier ist jedoch der Schluss von<\/p>\n $$\\underbrace{999...999}n$$ auf $$\\underbrace{999...999}<\/em>{n+2}$$ n\u00f6tig.<\/p>\n Es ergibt sich:<\/p>\n $$\\underbrace{999...999}{n+2} = 100\\times{}\\underbrace{999...999}<\/em>{n}+99$$<\/p>\n Und auch hier gilt, dass beide Summanden durch 11 teilbar sind und damit auch die Summe. Zus\u00e4tzlich muss man jedoch f\u00fcr den zweiten Faktor auch noch von<\/p>\n $$\\underbrace{100...001}{n}$$ auf $$\\underbrace{100...001}<\/em>{n+2}$$<\/p>\n kommen. Dieses erreicht man so:<\/p>\n $$\\underbrace{100...001}{n+2} = 100\\times{}\\underbrace{100...001}<\/em>{n}-99$$<\/p>\n Da hier auch die -99 ebenso wie der erste Summand durch 11 teilbar ist, ist auch hier die Summe insgesamt durch 11 teilbar.<\/p>\n Bleiben von den Zahlen unter 10 noch die Teilbarkeitsregeln f\u00fcr 6 und 7.<\/p>\n F\u00fcr die 6 gilt, wie f\u00fcr alle aus mehreren Primfaktoren zusammengesetzte Teiler, dass eine Zahl genau dann geteilt wird, wenn sie von allen Faktoren der kanoischen Form der Primfaktorenzerlegung des Teilers geteilt wird. Oder einfach an den Beispielen zu 6 und 12:<\/p>\n $$6 = 2^1\\times{}3^1$$<\/p>\n $$12 = 2^2\\times{}3^1$$<\/p>\n Damit gilt:<\/p>\n und<\/p>\n Bleibt noch die 7. Man findet die unterschiedlichsten Regeln zur Teilbarkeit durch 7:<\/p>\n Nach welchem Schema funktionieren die oben vorgestellten Regeln?. Nun es wird dasselbe Prinzip wie bei den anderen Regeln angewendet. Die zu untersuchende Zahl wird in eine Summe aufgespalten, in der man von einem Summanden wei\u00df, dass er durch 7 teilbar ist.<\/p>\n W\u00e4hrend die Pr\u00fcfung auf Teilbarkeit durch 2,4,5 und 10 einfach im Kopf durchzuf\u00fchren ist, ist dieses bei den Test f\u00fcr 3,9,11 und gerade 7 schon schwieriger. Hier gibt es nun einige Tipps, die dieses etwas vereinfachen sollen.<\/p>\n Auf vielen Seiten werden die Quersummenregeln f\u00fcr die Teilbarkeit durch 3 und 9 erw\u00e4hnt. Was nicht gesagt wird, ist wie man die praktische Durchf\u00fchrung vereinfachen kann. Wie schon oben erw\u00e4hnt, kann man den Teilbarkeitstest bei einer Summe auf die Summanden beschr\u00e4nken, die nicht offensichtlich teilbar sind. Dieses gilt nat\u00fcrlich auch bei der Bildung der Quersumme. Als Folge kann beim Test auf Teilbarkeit durch 3 beim Bilden der Quersumme alle Ziffern 3,6 und 9 ignorieren. Beim Test durch 9 immerhin noch die 9er. Weiterhin kann man beim Erreichen einer Teilsumme die durch 3 bzw. 9 teilbar ist, diese ignorieren und wieder von vorne beginnen. So kann man z.B. auch Paare von 4 und 5 oder 2 und 7 ignorieren auch wenn diese nicht nebeneinander stehen.<\/p>\n Bei dem Teilbarkeitstest durch 11 kann man mit selber Argumentation gleiche Ziffern die nebeneinander stehen ignorieren, da diese sich bei der Bildung der alternierenden Quersumme zu 0 aufaddieren. Weiterhin kann man auch hier Teilsummen die bereits durch 11 teilbar sind ignorieren.<\/p>\n Betrachtet man die drei Reglen f\u00fcr die Teilbarkeit durch 7, so sind diese ziemlich sperrig und nicht unbedingt einfach im Kopf zu rechnen. Warum hier nicht einfach eine Division im Kopf durchf\u00fchren? Es klingt schwieriger als es ist, da man ja nur auf Teilbarkeit testen m\u00f6chte und das Ergebnis nicht interessiert. So reduziert sich das Verfahren auf einfaches fortgesetztes Subtrahieren. Ein Beispiel<\/p>\n $$\\begin{array}{l}\n{\\hphantom{-}85295\\rightarrow}\\\n\\hphantom{-}8|5295 \\<\/p>\n -7\\<\/p>\n \\hphantom{-}1|5295 \\<\/p>\n \\hphantom{-}15|295 \\<\/p>\n -14\\<\/p>\n \\hline\n\\hphantom{-1}1|295\\<\/p>\n \\hphantom{-1}12|95\\<\/p>\n -\\hphantom{11}7\\<\/p>\n \\hline<\/p>\n \\hphantom{-11}5|95\\<\/p>\n \\hphantom{-11}59|5\\<\/p>\n -\\hphantom{11}56\\<\/p>\n \\hline<\/p>\n \\hphantom{-111}3|5\\<\/p>\n \\hphantom{-111}35\\<\/p>\n -\\hphantom{111}35\\<\/p>\n \\hline<\/p>\n \\hphantom{-1111}0\\end{array}$$<\/p>\n Wie man sieht ist das Verfahren recht einfach: ist die erste Ziffer kleiner als 7 so nimmt man die zweite hinzu und bildet die Differenz zum n\u00e4chstkleineren Vielfachen von 7. Das Ergebnis ist nun die neue f\u00fchrende Ziffer. Ist die Ziffer 7 oder gr\u00f6\u00dfer, so subtrahiert man 7 und erh\u00e4lt damit eine neue erste Ziffer. Meiner Meinung nach ist dieses Verfahren bei weitem einfacher als die Anwendung aller oben genannten Regeln.<\/p>\n Mit Hilfe der dargestellten Teilbarkeitsregeln l\u00e4sst sich f\u00fcr bestimmte Spezialf\u00e4lle sofort sagen, dass diese bestimmte Teilbarkeiten aufweisen.<\/p>\n Beispiele: 393, 66339 oder 906906<\/p>\n Beispiele: 111, 444444, 552252, 771744114<\/p>\n Beispiele: 909, 90999<\/p>\n Beispiele: 1221, 451154<\/p>\n Beispiele: 147147, 1556715567<\/p>\n Beispiele: 259259, 147147, 381381<\/p>\n Wer noch mehr wissen m\u00f6chte, sei auf ein Buch \u00fcber Zahlentheorie verwiesen. Einen guten Einstieg bietet z.B.\nBasiswissen Zahlentheorie: Eine Einf\u00fchrung in Zahlen und Zahlbereiche<\/a><\/p>\n oder auch<\/p>\nEine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie auf 0, 2, 4, 6 oder 8 endet, d.h. gerade ist.<\/blockquote>\n
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn sie auf 0 oder 5 endet.<\/blockquote>\n
Ein Zahl ist durch 10 teilbar, wenn sie auf 0 endet.<\/blockquote>\n
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn ihre letzen 2 Stellen durch 4 teilbar sind.<\/blockquote>\n
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn ihre letzen 3 Stellen durch 8 teilbar sind.<\/blockquote>\n
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn ihre letzen 2 Stellen durch 25 teilbar sind.<\/blockquote>\n
Eine Zahl ist durch 125 teilbar, wenn ihre letzen 3 Stellen durch 125 teilbar sind.<\/blockquote>\n
... schwieriger ...<\/h3>\n
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist.<\/blockquote>\n
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist.<\/blockquote>\n
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist.<\/blockquote>\n
Eine Zahl durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und 3 teilbar ist.<\/blockquote>\n
Eine Zahl durch 12 teilbar, wenn sie durch 4 und 3 teilbar ist.<\/blockquote>\n
... und komplex!<\/h3>\n
\n
Man bildet rechts beginnend Bl\u00f6cke aus jeweils 3 Ziffern, diese betrachtet man als 3-stellige Zahlen. Von diesen bildet man nun eine alternierende Summe. Ist diese durch 7 teilbar, so ist auch die urspr\u00fcngliche Zahl durch 7 teilbar.<\/blockquote>\nBeispiel:\n\n\n$$\\begin{array}{lr}\n{15295\\rightarrow}&{}\\\\\n+ & 295\\\\\n- & 15\\\\\n\\hline\n{}& 280\\\\\n\\end{array}$$<\/li>\n\n
Man entfernt die letzte Ziffer der Zahl, verdoppelt diese und subtrahiert das Ergebnis von der Restzahl. Dieses wiederholt man nun solange, bis die resultierende Zahl klein genug ist. Ist diese durch 7 teilbar, ist es auch die urspr\u00fcngliche.<\/blockquote>\nBeispiel:
Man entfernt die erste Ziffer der Zahl, verdreifacht diese und addiert die n\u00e4chste Ziffer hinzu. Die so erhaltene Zahl wird wieder verdreifacht und die n\u00e4chste Ziffer addiert. Dieses wird fortgef\u00fchrt, bis keine Ziffer mehr \u00fcbrig ist. Ist die erhaltene Zahl durch 7 teilbar, so ist es auch die urspr\u00fcngliche.<\/blockquote>\nBeispiel:\n$$\\begin{array}{lcl}\n\n{15295\\rightarrow}&{}&{}\\\\\n\n3\\times{1}+5 & = & 8\\\\\n\n3\\times{8}+2 & = & 26\\\\\n\n3\\times{26}+9 & = & 87\\\\\n\n3\\times{87}+5 & = & 266\\\\\n\n\\end{array}$$<\/li>\n<\/ol>\n
\n
Praktische Anwendung<\/h3>\n
Spezialf\u00e4lle<\/h3>\n
Jede Zahl die nur aus den Ziffern 3,6,9 oder 0 besteht ist durch 3 teilbar.<\/blockquote>\n
Jede Zahl in der jede auftretende Ziffer mit einer H\u00e4ufigkeit auftritt die ein Vielfaches von 3 ist, ist durch 3 teilbar.<\/blockquote>\n
Jede Zahl die nur aus den Ziffern 9 oder 0 besteht ist durch 9 teilbar.<\/blockquote>\n
Jede Palindromzahl<\/a> mit gerader Stellenzahl ist durch 11 teilbar.<\/blockquote>\n
Jede Zahl die sich durch hintereinander stellen einer Zahl mit ungeraden Stellenzahl ergibt, ist durch 11 teilbar.<\/blockquote>\n
Jede Zahl die sich durch hintereinander stellen einer 3stelligen Zahl ergibt, ist durch 7 ( durch 11 und damit auch durch 77) teilbar.<\/blockquote>\n