In der Tüte befindet sich in jedem Fall genug Zucker!

Die Lösung ist einfacher als man denken mag: man legt die beiden Gewichte in eine Wagschale und bringt die Waage danach mit dem Zucker ins Gleichgewicht.

Nun entfernt man die Gewichte und füllt so lange Zucker auch in diese Wagschale bis die Waage wieder im Gleichgewicht ist. Es befinden sich dort nun 100 Gramm Zucker.

Hilfreich ist es sich zu überlegen wie das Flächenverhältnis von Sechseck und Dreieck und der übrigen Flächen zueinander ist.

Erstaunlicherweise kommt die Lösung kommt ganz ohne den Einsatz von Flächenformeln für Kreis oder Kreisegmenten und ohne den Einsatz von aus!

Während das Sechseck vom Kreis sechs gleiche Segmente übrig lässt , schneidet das Dreieck entsprechend drei Teile ab. Es gilt:

Die gesuchte Fläche ist nun gerade:

durch Umformen und Einsetzen in die Gleichungen (1) und (2) ergibt sich:

Wie man in der Zeichnung im Hinweis sehen kann, nimmt das Sechseck die doppelte Fläche des Dreiecks ein. Es gilt:

Durch Einsetzen und Umformen in (3) erhält man:

und vereinfacht:

Die gesuchte Fläche beträgt also ein Sechstel der Kreisfläche.

Hilfreich ist es, die Geschwindigkeiten der beiden zu ermitteln, und den Ort des Treffens.

Nennen wir die Entfernung der beiden Städte voneinander (der genaue Wert spielt keine Rolle), so beträgt die Geschwindigkeit des einen Reiters und die des zweiten . Beim Treffen der beiden Boten hat der erste die Strecke und der zweite die Strecke zurückgelegt. Diese summieren sich, da sie in gerader Entferung geritten sind, zur gesamten Entfernung auf: . Beide sind bis zum Treffen die gesuchte Zeit geritten. Also gilt es nur noch die Geschwindigkeiten mit der Zeit zu multiplizieren um die Teilstrecken zu erhalten: nun kann man auf beiden Seiten eliminieren und erhält und schließlich . Dieses entspricht 2 Tage und 22 Stunden, oder anders ausgedrückt: sie treffen sich am dritten Tage zwei Stunden vor Mittag.

In obiger Zeichnung sind Winkel eingezeichnet. Welche sind gleich und was kann man daraus schließen?

Da folgende Winkel gleich sind: , und , sind die beiden Dreiecke
und ähnlich. Dreht man das Dreieck um , so erhält man . Durch ein Hilfslinie parallel zum Boden durch erhält man noch die Punkte , und . Im linken Teil kann man nun den Strahlensatz anwenden und erhält:
mit , , und ergibt sich . Umgeformt und aufgelöst ergibt sich .

Die beiden Seilbahnen treffen sich also in 240 Metern Höhe.

Man kann Ziffern auch doppelt einsetzen.

Um alle Zahlen von 01-31 darstellen zu können benötigt man die 1 und die 2 jeweils auf beiden Würfeln, da man nur so 11 bzw. 22 legen kann. Alle restlichen Ziffern (0,3,4,5,6,7,8,9) benötigt man nur einmal. Wie man sieht sind nun die verbleibenden 9 Ziffern auf nur 8 freie Seiten der beiden Würfel zu verteilen. Das Rätsel ist also nicht lösbar? Doch, denn der Trick besteht darin, dass man die 6 auf einem Würfel durch drehen auch als 9 nutzen kann. Und schon hat man die Lösung: die Ziffern 0,3,4,5,6,7 und 8 kann man nun beliebig auf die freien Plätze der Würfel verteilen.

Beim Abwiegen kann man Gewichte auch auf die Seite der abzuwiegenden Ware legen.

Er muss den Barren wie folgt zerteilen: 1kg + 3kg + 9kg + 27kg (= 40kg).
Das Verfahren das nächste Gewicht zu ermitteln basiert auf der Idee insgesamt danach ein möglichst großes Gewicht abwiegen zu können ohne das Lücken entstehen. Beginnend mit 1kg kommt man schnell durch probieren auf 3kg für das zweite Gewicht, da mit einem Gewicht von 2kg 4 Kilogramm nicht abzuwiegen währen und mit einem Gewicht von 4 kg oder größer enstehen Lücken. Mit diesen beiden Gewichten kann man nun alles von 1k bis 4kg abwiegen. Das nächste Gewicht ergibt sich nun in dem man das bis dahin maximal abzuwiegenden Gewicht verdoppelt und dazu eins addiert. So kommt man auf 9kg. Die Lücke von 5kg bis 8kg kann geschlossen werden, indem man die vorhandenen Gewichte (1kg und 3kg) dazu benutzt 1-4kg von den 9kg abzuziehen, in dem man sie auf die jeweils andere Seite legt. Fährt man entsprechend fort, so kommt man auf die oben geannten Gewichte.

Ausführlich auf Englisch kann man es hier nachlesen:
The Master Book of Mathematical Recreations

Auch wenn das Rätsel nach komplizierten geometrischen Berechnungen aussieht, so ist es doch ganz einfach durch Überlegung zu lösen. Hierzu nimmt man einfach die zweite Diagonale des Rechtecks von D nach B, die die gleiche Länge wie die von A nach C hat.
Nun ist aber der Punkt D Mittelpunkt des Kreises und B liegt auf dem Kreis. Das bedeutet die Strecke ist so lang wie der Radius des Kreises. Diesen kann man unten als Summe zu insgesamt 10cm ablesen. Die Antwort lautet also 10cm.

Die Idee zur Lösung ist es die Randzahlen ( d.h. 1 und 8 ) in die Felder zu packen,
die die meisten Verbindungen zu anderen Feldern haben. Dieses sind hier die Felder
C und F mit jeweils 6 Verbindungen zu Nachbarfeldern.
Daraus ergibt sich, dass deren Nachbarzahlen (2 und 7) nur in A und H
platziert werden können. Die Platzierung der restlichen Zahlen in B, D, E und G,
ergibt sich dann von selbst.

Das Zerteilen wird muß entlang der Gitterlinien geschehen:

Es es nicht möglich 31 Dominos auf diesem Brett zu platzieren. Man kann dieses mit einem einfachen logischen Argument begründen: ein Dominostein belegt immer zwei horizontal oder vertikal nebeneinander liegende Felder, von welchen immer eines weiß und das andere schwarz ist.
Entfernt man 2 gegenüberliegende Eckfelder, so sind diese immer gleichfarbig, so dass das verbleibende Brett 30 Felder der einen und 32 Felder der anderen Farbe hat. Daher kann man die Dominosteine nicht so platzieren um alle Felder abzudecken.